在数学分析中，Stolz定理（也称为Stolz-Cesàro定理）是一种非常有用的工具，用于处理数列极限问题。它类似于微积分中的洛必达法则，但适用于离散的情况。该定理为解决一些复杂的数列极限问题提供了一种系统化的方法。
定理的内容
设两个数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足以下条件：
1. 数列 $\{b_n\}$ 是严格单调递增的，并且 $\lim_{n \to \infty} b_n = +\infty$。
2. 数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 都是实数序列。
如果极限
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L
$$
存在，则
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L
$$
换句话说，当 $\{b_n\}$ 是一个严格递增趋于无穷大的数列时，数列 $\frac{a_n}{b_n}$ 的极限可以通过考察相邻项之差的比值来确定。
定理的应用
Stolz定理的一个典型应用场景是处理形如 $\frac{\infty}{\infty}$ 的未定式极限。通过将分子和分母分别视为两个数列，并利用定理简化计算过程，可以快速得到结果。
例如，考虑以下极限：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3n + 1}{2n^2 - n + 5}
$$
这里，分子和分母都趋于无穷大，属于 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。我们可以将分子和分母看作两个数列 $a_n = n^2 + 3n + 1$ 和 $b_n = 2n^2 - n + 5$，然后应用Stolz定理：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 + 3(n+1) + 1 - (n^2 + 3n + 1)}{(n+1)^2 - (n+1) + 5 - (2n^2 - n + 5)}
$$
经过化简后，我们得到：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 4}{4n + 1} = \frac{1}{2}
$$
因此，
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3n + 1}{2n^2 - n + 5} = \frac{1}{2}
$$
总结
Stolz定理提供了一种简洁而有效的方法来处理某些类型的数列极限问题。与洛必达法则类似，它通过比较相邻项的变化率来推导整体的趋势。熟练掌握这一工具可以帮助我们在解决复杂极限问题时更加得心应手。
希望这篇介绍能帮助你更好地理解Stolz定理及其应用！
