【如何求直线与平面所成的角】在立体几何中，直线与平面所成的角是一个重要的概念，常用于解决空间几何问题。该角度反映了直线与平面之间的倾斜程度，其求解方法主要包括几何法和向量法两种方式。以下是对这一问题的详细总结。

一、基本概念

- 直线与平面所成的角：是指这条直线与其在平面上的投影之间的夹角。这个角的范围在0°到90°之间。

- 关键点：若直线与平面垂直，则所成角为90°；若直线在平面内或平行于平面，则所成角为0°。

二、求解方法总结

三、具体步骤说明

1. 几何法步骤：

1. 确定直线与平面的位置关系：判断是否垂直、平行或斜交。

2. 找到直线在平面上的投影：通过作垂线，将直线投影到平面上。

3. 构造直角三角形：以直线、投影线和垂线构成直角三角形。

4. 计算角度：使用正弦、余弦或正切函数求出夹角。

2. 向量法步骤：

1. 设直线方向向量：设直线方向向量为 $\vec{v}$。

2. 设平面法向量：设平面法向量为 $\vec{n}$。

3. 计算夹角：直线与平面所成角 $\theta$ 为：

$$

\sin\theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{n}}{\vec{v}\vec{n}}

$$

或者：

$$

\cos\theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{n}}{\vec{v}\vec{n}}

$$

根据实际需要选择正弦或余弦。

四、示例分析

假设有一条直线方向向量为 $\vec{v} = (1, 2, 3)$，平面法向量为 $\vec{n} = (2, -1, 1)$，则：

$$

\vec{v} \cdot \vec{n} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + 3 \times 1 = 2 - 2 + 3 = 3

$$

$$

$$

$$

\sin\theta = \frac{3}{\sqrt{14} \times \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{84}} \approx 0.333

$$

$$

\theta \approx \arcsin(0.333) \approx 19.5^\circ

$$

五、总结

求直线与平面所成的角是立体几何中的基础内容，掌握几何法和向量法是关键。根据题目条件选择合适的方法，能够更高效地解决问题。建议结合图形理解与公式推导，提高解题准确率和灵活性。