【三角函数公式总结】在数学学习中，三角函数是一个重要的组成部分，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数公式，有助于提高解题效率和理解能力。以下是对常见三角函数公式的系统总结，便于查阅与记忆。
一、基本定义
| 函数名称 | 定义式 | 说明 |
| 正弦（sin） | $\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$ | 在直角三角形中，角θ的对边与斜边之比 |
| 余弦（cos） | $\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$ | 在直角三角形中，角θ的邻边与斜边之比 |
| 正切（tan） | $\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$ | 在直角三角形中，角θ的对边与邻边之比 |
| 余切（cot） | $\cot \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}}$ | 是正切的倒数 |
| 正割（sec） | $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ | 是余弦的倒数 |
| 余割（csc） | $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ | 是正弦的倒数 |
二、常用角度的三角函数值
| 角度（°） | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| $\sin \theta$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | 1 |
| $\cos \theta$ | 1 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | 0 |
| $\tan \theta$ | 0 | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | 1 | $\sqrt{3}$ | 无定义 |
三、三角恒等式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 基本恒等式 | $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ |
| 正切与余切关系 | $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$, $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ |
| 正割与余割关系 | $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$, $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ |
| 余角公式 | $\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta$, $\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta$ |
四、诱导公式（用于任意角）
| 角度变换 | 三角函数值变化 |
| $\sin(-\theta)$ | $-\sin \theta$ |
| $\cos(-\theta)$ | $\cos \theta$ |
| $\tan(-\theta)$ | $-\tan \theta$ |
| $\sin(\pi - \theta)$ | $\sin \theta$ |
| $\cos(\pi - \theta)$ | $-\cos \theta$ |
| $\sin(\pi + \theta)$ | $-\sin \theta$ |
| $\cos(\pi + \theta)$ | $-\cos \theta$ |
| $\sin(2\pi - \theta)$ | $-\sin \theta$ |
| $\cos(2\pi - \theta)$ | $\cos \theta$ |
五、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ |
| 余弦和差公式 | $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$ |
| 正切和差公式 | $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$ |
六、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ |
| 余弦倍角公式 | $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$ |
| 正切倍角公式 | $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ |
七、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | $\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ |
| 余弦半角公式 | $\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$ |
| 正切半角公式 | $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$ |
八、积化和差与和差化积
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 积化和差 | $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$ $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$ $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$ |
| 和差化积 | $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ $\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ |
总结
以上内容涵盖了三角函数的基本定义、常用角度值、恒等式、诱导公式、和差角公式、倍角公式、半角公式以及积化和差与和差化积等重要内容。这些公式是解决三角问题的基础工具，建议结合实际题目进行练习，以加深理解和应用能力。
