【真子集的公式】在集合论中，“真子集”是一个基础而重要的概念，广泛应用于数学、逻辑学以及计算机科学等领域。理解真子集的定义及其相关公式，有助于我们更准确地分析集合之间的关系。
一、真子集的定义
设集合 $ A $ 和集合 $ B $，如果满足以下两个条件：
1. 所有属于 $ A $ 的元素都属于 $ B $（即 $ A \subseteq B $）；
2. 存在至少一个元素属于 $ B $ 但不属于 $ A $（即 $ B \nsubseteq A $）；
那么称 $ A $ 是 $ B $ 的真子集，记作 $ A \subsetneq B $ 或 $ A \subset B $（部分教材中用此符号表示真子集）。
二、真子集的相关公式与性质
| 序号 | 公式/性质 | 说明 |
| 1 | $ A \subsetneq B $ | 表示 $ A $ 是 $ B $ 的真子集 |
| 2 | $ A \subseteq B $ 且 $ A \neq B $ | 真子集的等价定义 |
| 3 | $ A \subsetneq B \iff (A \subseteq B) \land (\exists x \in B, x \notin A) $ | 从逻辑角度描述真子集 |
| 4 | 若 $ A \subsetneq B $，则 $ A $ 的元素个数小于或等于 $ B $ 的元素个数 | 对有限集合成立 |
| 5 | $ A \subsetneq B $ 且 $ B \subsetneq C $，则 $ A \subsetneq C $ | 真子集具有传递性 |
| 6 | 若 $ A \subsetneq B $，则 $ A \cup B = B $ | 并集等于较大集合 |
| 7 | 若 $ A \subsetneq B $，则 $ A \cap B = A $ | 交集等于较小集合 |
三、举例说明
- 设 $ A = \{1, 2\} $，$ B = \{1, 2, 3\} $，则 $ A \subsetneq B $
- 设 $ C = \{1, 2, 3\} $，$ D = \{1, 2, 3\} $，则 $ C \not\subsetneq D $，因为 $ C = D $
- 设 $ E = \emptyset $，$ F = \{1\} $，则 $ E \subsetneq F $
四、总结
真子集是集合之间的一种包含关系，强调“完全包含但不相等”。掌握其定义和相关公式，有助于我们在处理集合问题时更加严谨和清晰。通过表格形式可以快速了解真子集的核心公式和性质，适用于学习、教学或实际应用中的参考。
关键词：真子集、集合论、子集、并集、交集
