🌟常见概率分布的特征函数推导🌟
发布时间：2025-03-17 08:56:23来源：
✨今天来聊聊概率论中的一个重要工具——特征函数。它就像一把钥匙，能解锁各种分布背后的秘密！让我们从几何分布开始吧，它的定义是独立重复试验中首次成功所需的试验次数的概率分布。
🎯几何分布的特征函数推导
假设随机变量 \(X\) 服从几何分布，其概率质量函数为 \(P(X=k) = (1-p)^{k-1}p\) （\(k=1,2,...\)）。特征函数定义为 \(φ_X(t) = E[e^{itX}]\)，即对所有可能的 \(X\) 值求期望。代入几何分布公式计算：
\[ φ_X(t) = \sum_{k=1}^\infty e^{itk}(1-p)^{k-1}p \]
通过整理和化简，最终得到：
\[ φ_X(t) = \frac{pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}} \]
🔍这个结果告诉我们，几何分布的特征函数具有简洁优雅的形式，为后续分析提供了便利。无论是理论研究还是实际应用，这一特性都显得尤为重要！💡
🎯掌握这些基础知识后，你会发现更多隐藏在概率世界里的奇妙规律。继续探索吧，下一站可能是泊松分布或正态分布哦～🚀
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