📚凸函数、强凸函数、拟凸函数 & 一阶二阶判断条件🧐
发布时间：2025-03-19 15:25:04来源：
在数学优化领域，凸函数是一类非常重要的函数类型，它们具有许多优良性质。✨ 凸函数 的定义是：对于任意两点 $x_1$ 和 $x_2$，若满足 $f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)$ ($\lambda \in [0,1]$)，则称该函数为凸函数。如果严格小于，则称为严格凸函数。
进一步地，强凸函数 要求函数的 Hessian 矩阵（二阶导数矩阵）正定，这意味着它比普通凸函数更加“陡峭”，能更有效地保证优化算法的收敛性💪。
而 拟凸函数 则相对宽松，仅要求上镜图是凸集即可，但不一定是凸函数。💡
如何判断？用 一阶条件：梯度 $\nabla f(x)$ 满足 $f(y) \geq f(x) + \nabla f(x)^T(y-x)$；或者用 二阶条件：Hessian 矩阵半正定即可。🧐
掌握这些特性，无论是机器学习还是工程优化中，都能事半功倍！🎯
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