在高等数学的学习过程中，定积分的计算是一个重要的组成部分。其中，形如\(x \cdot \arctan x\)这样的函数定积分，由于其特殊的结构形式，既具有一定的挑战性，也展现了积分技巧的魅力。

首先，我们需要明确的是，对于这类函数的定积分，通常不能直接找到一个初等函数作为其原函数。因此，我们往往需要借助一些特定的方法来解决。一种常用的方法是分部积分法。根据分部积分公式\(\int u dv = uv - \int v du\)，我们可以选择\(u = \arctan x\)和\(dv = x dx\)。这样，\(du = \frac{1}{1+x^2}dx\)，而\(v = \frac{x^2}{2}\)。

接下来，将这些表达式代入分部积分公式中，得到：

\[

\int x \cdot \arctan x dx = \frac{x^2}{2} \cdot \arctan x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx

\]

简化后为：

\[

= \frac{x^2}{2} \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} dx

\]

进一步地，对于剩下的积分\(\int \frac{x^2}{1+x^2} dx\)，可以将其改写为：

\[

\int \frac{x^2}{1+x^2} dx = \int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx

\]

这样，积分就变成了两个简单的部分：\(\int 1 dx\)和\(-\int \frac{1}{1+x^2} dx\)。前者的结果是\(x\)，后者则是常见的反三角函数\(-\arctan x\)。

最终，整个积分的结果可以表示为：

\[

\int x \cdot \arctan x dx = \frac{x^2}{2} \cdot \arctan x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \arctan x + C

\]

这里\(C\)为常数项。

通过上述过程，我们不仅解决了\(x \cdot \arctan x\)的不定积分问题，还展示了如何利用分部积分法处理复杂函数积分的基本思路。值得注意的是，在实际应用中，定积分的具体值还需要结合给定的上下限进行计算，这将进一步体现积分的实际意义和价值。