在数学领域中，三角函数是不可或缺的一部分，而sin（正弦）、cos（余弦）和tan（正切）是最基本也是最重要的三个三角函数。它们不仅在几何学中有广泛应用，在物理学、工程学以及计算机科学等领域也占据着重要地位。为了更好地理解和运用这些函数，我们需要掌握它们的相关公式。以下是对sin、cos、tan所有公式的全面总结。
一、基本定义
1. 正弦函数 (sin)
在直角三角形中，对于某一锐角θ，其对边与斜边之比称为该角的正弦值，即：
\[
\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}
\]
2. 余弦函数 (cos)
同样在一个直角三角形内，某锐角θ的邻边与斜边之比称为该角的余弦值，即：
\[
\cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}
\]
3. 正切函数 (tan)
某锐角θ的对边与邻边之比称为该角的正切值，即：
\[
\tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}
\]
二、诱导公式
诱导公式用于将任意角度转化为0°到90°范围内的等价角，方便计算。以下是常见的诱导公式：
- \(\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta\)
- \(\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta\)
- \(\tan(180^\circ - \theta) = -\tan\theta\)
此外还有：
- \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\)
- \(\cos(-\theta) = \cos\theta\)
- \(\tan(-\theta) = -\tan\theta\)
三、两角和差公式
1. 两角和的正弦公式
\[
\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta
\]
2. 两角差的正弦公式
\[
\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta
\]
3. 两角和的余弦公式
\[
\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta
\]
4. 两角差的余弦公式
\[
\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta
\]
5. 两角和的正切公式
\[
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}
\]
6. 两角差的正切公式
\[
\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}
\]
四、倍角公式
1. 倍角的正弦公式
\[
\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha
\]
2. 倍角的余弦公式
\[
\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha
\]
或者等价形式：
\[
\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha
\]
3. 倍角的正切公式
\[
\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}
\]
五、半角公式
1. 半角的正弦公式
\[
\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}
\]
2. 半角的余弦公式
\[
\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}
\]
3. 半角的正切公式
\[
\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}
\]
六、其他重要公式
1. 平方关系
\[
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
\]
2. 商数关系
\[
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
\]
3. 倒数关系
\[
\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}
\]
以上便是关于sin、cos、tan的所有常用公式汇总。熟练掌握这些公式有助于解决各种复杂的数学问题，尤其是在解析几何、微积分以及物理运动学等领域。希望本文能帮助大家更加深入地理解并灵活运用这些基础但强大的工具！
