在高等数学中，二重积分是一个重要的概念，它用于计算曲顶柱体的体积或平面区域上的平均值等问题。为了更好地理解二重积分的概念和计算方法，我们可以通过一些基础例题来熟悉其运算过程。这里我们将通过一个具体的例子，展示如何使用直角坐标系来计算二重积分。

假设我们需要计算函数f(x,y) = x^2 + y^2在矩形区域D=[0,1]×[0,1]上的二重积分。这个区域是一个单位正方形，位于x轴和y轴之间，从原点开始延伸到(1,1)。

步骤如下：

第一步：确定积分限

由于我们的积分区域是矩形，所以可以直接写出积分限：

∫(从0到1) ∫(从0到1) (x^2 + y^2) dx dy

第二步：先对内层积分变量积分

首先对y进行积分，将x视为常数：

∫(从0到1) [ ∫(从0到1) (x^2 + y^2) dy ] dx

= ∫(从0到1) [ yx^2 + (1/3)y^3 |(从0到1) ] dx

= ∫(从0到1) [(x^2 + 1/3)] dx

第三步：再对外层积分变量积分

接着对x进行积分：

= [ (1/3)x^3 + (1/3)x ] |(从0到1)

= [(1/3)1^3 + (1/3)1] - [(1/3)0^3 + (1/3)0]

= 2/3

因此，函数f(x,y) = x^2 + y^2在给定区域上的二重积分为2/3。

通过上述步骤可以看出，在直角坐标系下计算二重积分的关键在于正确设置积分限，并按照一定的顺序逐步完成内外两层积分。这种分步处理的方法不仅有助于加深对二重积分概念的理解，还能提高实际问题解决中的准确性与效率。希望这个简单的例子能够帮助大家建立起对于二重积分的基本认识。