ln 本身就是以 e 为底的自然对数，ln 换底公式核心就是把 ln 和其他底数的对数互相转换，本质是通用对数换底公式在自然对数上的专门应用，通用换底公式的原理是不同底数的对数，可以统一转换成同一个底数的对数比值，这样就能够跨底数计算对数数值，化简对数表达式，处理方程求解还有求导相关运算，之所以需要 ln 换底公式，是因为计算器一般只自带常用对数也就是以 10 为底的 lg，或者直接自带 ln，遇到其他底数对数的时候，就必须借助 ln 换底公式完成换算，使用 ln 换底公式的时候，真数必须大于零，新选取的底数也不能是 1 而且必须大于零，这是硬性前提，很多初学者容易忽略底数限制，导致计算错误，下面分层整理全部 ln 换底相关公式，配套推导思路，使用场景，对照表还有易错说明，方便刷题记忆。

基础原版换底公式

第一条核心公式，ln A 等于 log 以 b 为底 A 除以 log 以 b 为底 e，这里 b 只要满足大于零不等于 1 就可以，最常用的就是取 b 等于 10，也就是 lnA 等于 lgA 除以 lge，这个是最经典的 ln 换底公式，把自然对数转换成常用对数比值。

第二条反向版本，log 以 b 为底 A 等于 lnA 除以 ln b，这条是考试最高频，意思是任意底数 b 的对数，都可以写成真数的 ln 除以底数的 ln，很多题目看到非 e 底数对数，优先使用这条 ln 换底公式。

衍生推论公式

倒数推论，log 以 b 为底 e 等于 1 除以 ln b，这个是上面反向版本令 A 等于 e 得到的推论，经常搭配基础公式联合使用。

连等形式，log 以 a 为底 b 乘以 log 以 b 为底 a 等于 1，这个是换底之后约分得到的倒数性质，属于 ln 换底公式衍生考点。

链式推论，log 以 a 为底 b 乘以 log 以 b 为底 c 等于 log 以 a 为底 c，也就是换底之后中间底数可以消掉，这个叫换底链式性质，解题化简非常好用，也可以用 ln 来表达，写成 (ln b 除以 ln a) 乘以 (ln c 除以 ln b) 等于 ln c 除以 ln a。

推导思路

从指数方程出发，假设 N 等于 log 以 b 为底 A，那么根据对数定义，b 的 N 次方等于 A，两边同时取自然对数 ln，左边就变成 N 乘以 ln b，右边是 ln A，等式整理之后 N 等于 lnA 除以 ln b，这样就推导出反向的 ln 换底公式，基础原版公式就是这个式子变形得到，整个推导过程不需要复杂极限，只依靠对数幂法则，理解推导之后就不容易记混分子分母位置。

使用场景

数值计算，没有专门底数次计算器的时候，用 ln 换底公式算出任意底数对数数值。

对数方程求解，方程里面同时出现 lg 和 ln，利用 ln 换底公式统一成同一种对数，消掉不同底数。

化简代数式，复杂多层对数，使用链式推论消去中间底数。

公式对照表

【常见问题】

问题 1 ln 换底公式里面分子分母容易记反怎么办

回答 1 记忆 ln 换底公式的时候，可以记住真数的 ln 放在分子，底数的 ln 放在分母，ln 换底公式是真数在上底数在下，理解推导过程就不容易记反。

问题 2 ln 换底公式可以用来计算 log 以 2 为底 8 吗

回答 2 使用 ln 换底公式，log 以 2 为底 8 等于 ln8 除以 ln2，计算之后结果等于 3，所以 ln 换底公式可以直接计算任意底数对数的值。

问题 3 ln 换底公式对底数有什么限制

回答 3 使用 ln 换底公式的时候，底数必须大于零而且不能等于 1，真数必须大于零，这是 ln 换底公式成立的前提条件，不满足就没有实数意义。

【免责申明】

本文内容仅作为高中以及高等数学基础学习参考，ln 换底公式适用于实数域常规对数计算与化简，复数相关拓展内容请参考专业教材，不替代任课教师课堂讲解。