【切割线定理怎么证明】在几何学中，切割线定理是圆与直线关系中的一个重要定理，常用于解决与圆相关的几何问题。该定理描述了从圆外一点引出的两条直线（一条为切线，另一条为割线）之间的长度关系。以下是对切割线定理的总结及其证明过程。
一、切割线定理概述
切割线定理：
若从圆外一点 $ P $ 向圆引一条切线 $ PT $ 和一条割线 $ PAB $，其中 $ A $ 和 $ B $ 是割线与圆的两个交点，则有：
$$
PT^2 = PA \cdot PB
$$
即：切线段的平方等于割线段与全长的乘积。
二、定理证明思路
证明方法主要基于相似三角形和圆幂定理。以下是简要证明步骤：
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设圆心为 $ O $，点 $ P $ 在圆外，$ PT $ 是圆的切线，$ PAB $ 是割线，交圆于 $ A $、$ B $ 两点。 |
| 2 | 连接 $ OA $、$ OB $、$ OP $，并作 $ OT $，因为 $ PT $ 是切线，所以 $ OT \perp PT $。 |
| 3 | 观察三角形 $ \triangle PTA $ 和 $ \triangle PTB $，利用角的关系证明它们相似。 |
| 4 | 由相似三角形性质得：$ \frac{PA}{PT} = \frac{PT}{PB} $，从而推出 $ PT^2 = PA \cdot PB $。 |
三、定理应用举例
| 情况 | 描述 | 应用 |
| 已知切线长 | 若已知 $ PT = 5 $，且 $ PA = 2 $，求 $ PB $ | $ 5^2 = 2 \cdot PB \Rightarrow PB = 12.5 $ |
| 已知割线段 | 若 $ PA = 3 $，$ AB = 4 $，则 $ PB = PA + AB = 7 $，求 $ PT $ | $ PT^2 = 3 \cdot 7 = 21 \Rightarrow PT = \sqrt{21} $ |
四、总结
切割线定理是圆几何中的基本工具，其核心思想在于通过相似三角形或圆幂关系，将切线与割线的长度建立数学联系。掌握该定理不仅有助于解题，还能加深对圆与直线关系的理解。
关键词：切割线定理、切线、割线、相似三角形、圆幂定理
